GEOMETRI ANALITIK

Jika diberikan sebuah kerucut kemudian kerucut tersebut dipotong dengan berbagai cara maka akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk irisan yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut ( conic section ). Bentuk-bentuk irisan keruct seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola. Gambar 1 . Contoh kurva hasil dari irisan sebuah kerucut Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik. Hasil irisan kerucut tersebut memperlihatkan bahwa kedudukan titik-titik akan bergerak dengan rasio jar

Tentukan persamaan umum bidang yang memuat titik-titik (2, 1, 1), (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4). Pembahasan  Untuk menerapkan Teorema 2, kita membutuhkan suatu titik pada bidang dan vektor yang normal terhadap bidang tersebut. Terdapat tiga pilihan untuk titik pada bidang, tetapi tidak ada vektor normal yang diberikan. Untuk mendapatkan vektor normal, kita gunakan hasil kali silang vektor-vektor  u  dan  v  yang membentang dari titik (2, 1, 1) ke titik-titik (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4), seperti yang ditunjukkan Gambar 4. Bentuk-bentuk komponen  u  dan  v  adalah yang mengakibatkan adalah normal terhadap bidang yang diberikan. Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah pada  n  dan titik ( x 1 ,  y 1 ,  z 1 ) = (2, 1, 1), kita dapat menentukan persamaan bidang tersebut adalah Catatan  Dalam Contoh 3, kita dapat menguji bahwa titik-titik yang diberikan, (2, 1, 1), (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4), memenuhi persamaan bidang yang kita peroleh.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari-jari 4 adalah.... Jawab: Persamaan Lingkaran pusat (0, 0) x² + y² = r² Persamaan Lingkaran pusat (a, b) (x - a)² + (y - b)² = r² x² + y² + Ax + By + C = 0 Diketahui : Pusat = (a, b) = (3, 2) Jari - jari (r) = 4 Ditanyakan : Persamaan Lingkaran = ..... ? Jawab : (x - a)² + (y - b)² = r² (x - 3)² + (y - 2)² = 4² (x - 3)² + (y - 2)² = 16 ==> Bentuk baku x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4 = 16 x² + y² - 6x - 4y + 9 + 4 - 16 = 0 x² + y² - 6x - 4y - 3 = 0  ==> Bentuk umum

A.Garis Singgung antara Dua Lingkaran 1. Garis singgung persekutuan dalam Garis perpanjangan AB adalah garis singgung persekutuan dalam yaitu garis singgung dua lingkaran yang memotong ruas garis titik pusat dua lingkaran. 2. Garis singgung persekutuan luar Garis perpanjangan AB adalah garis singgung persekutuan luar yaitu garis singgung dua lingkaran yang tidak memotong ruas garis titik pusat dua lingkaran. B.Hubungan dua garis singgung lingkaran 1. Garis singgung sejajar Garis g // garis h. CD  ⊥  garis g dan CD  ⊥  garis h. mg = mh => mCD = -1/mg = -1/mh 2. Garis singgung berpotongan Garis singgung h dan I berpotongan di titik D. Titik B adalah garis singgung h dan titik C adalah garis singgung i. BC  ⊥  AD. AD adalah perpanjangan jari-jari.

Terdapat berbagai macam persamaan lingkaran, yaitu  persamaan  yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari – jarinya. Persamaan umum lingkaran Dalam Persamaan lingkaran, terdapat persamaan umum, seperti dibawah ini : Adalah bentuk umum rumus persamaannya. Dilihat dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari – jari lingkaran nya, adalah : Titik pusat lingkaran adalah : Dan untuk jari-jari lingkaran adalah : Persamaan lingkaran pada pusat P (a,b) dan jari-jari r Dari sebuah lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jari nya, akan didapatkan yaitu dengan rumus : Jika diketahui titik pusat suatu lingkaran dan jari – jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran. Dari persamaan yang didapat diatas, kita dapat menentukan apakah termasuk titik terletak pada lingkaran tersebut, atau di dalam lingkaran atau diluar lingkaran. Untuk menentukan le