GEOMETRI ANALITIK

Hiperbola adalah himpunan titiktitik pada suatu bidang dimana selisih jarah titik terhadap dua titik fokusnya (F1 dan F2) konstan. a.     Hiperbola Memiliki focus (±c, 0) dimana c2 = a2 + b2, titik puncak (±a, 0), dan asimtot y = ± (b/a)x b.     Hiperbola Memiliki focus (0, ±c) dimana c2 = a2 + b2, titik puncak (0, ±a), dan asimtot y = ± (a/b)x c.      Hiperbola berpusat dititik ( α, β ) d. Aplikasi Hiperbola Hiperbola sering muncul sebagai grafik dari persamaan-persamaan kimia, fisika, biologi dan ekonomi (hokum Boyle, Hukum Ohm, kurva permintaan dan penawaran). Sebuah aplikasi khusus dari hiperbola yaitu system navigasi pada Perang Dunia I dan II. e. Garis Singgung Garis singgung di suatu titik hiperbola membagi 2 sudut sama besar di titik A terhadap titik F1 dan F2. Persamaan garis singgung hiperbola adalah

Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik (4,-1), salah satu titik fokusnya (1,-1), dan melalui titik (9,-1)        penyelesaian:                                                                    Pusat (4,-1) Fokusnya (1,-1) c = 3 dan elips horizontal Fokus yang lainnya (4+c,-1) = (7,-1) Melalui (9,-1) a = 9-4 = 5 Maka, b² = a² - c² b² = 25 - 9 = 16 b = 4 Maka persamaannya: Tentukan persamaan elips dengan pusat (0,0) salah satu puncak (0,-13) dan salah satu titik fokus (0,12)                  penyelesaian:                                                                      Pers umum ellips yg berpusat (0,0) :                     puncak P (0,-13) --> P( 0, b) --> b = -13 -->  b² = 169 focus F (0,12) --> F (0,c)  --> c = 12                                                                         c = √a²-b²  12² = a²-(-13)² a² = 12²+(-13)²     = 144+169     =  313                                                                                                     

Sebuah kerucut yang diiris dari beberapa sudut dapat menghasilkan bentuk lingkaran, elips, hiperbola, dan parabola. Kerucut yang diiris mendatar akan membentuk lingkarab. Sedangkan kerucut yang diiris dengan kemiringan sudut tertentu akan membentuk bangun elips. Selanjutnya, irisan kerucut elips akan menjadi topik pembahasan tersendiri pada materi irisan kerucut. Ulasan materi yang berada pada pembahasan elips meliputi bentuk umum persamaan elips. Selain itu, pembahasan juga meliputi komponen – komponen elips yang terdiri atas puncak elips, loctus rectum, sumbu mayor, sumbu minor, dan lain sebagainya. Persamaan elips dipengaruhi pusat elips, sumbu mayor elips, dan sumbu minor elips. Persamaan elips dengan pusat O(0, 0) tentu akan memliki bentuk persamaan yang berbeda dengan elips pada pusat P(a, b). Melalui halaman ini, sobat idschool akan mempelajari lebih jauh lagi tentang peresamaan elips ini. Pada bagian akhir akan diulas cara menentukan persamaan elips dari sebuah gambar el

1.        Tentukan persamaan bola dengan pusat M(-2, 3, 1) dan jari-jari=2 ! Jawab : Dik :  Pusat     = M(-2, 3, 1) jari-jari = 2 Dit ; Persamaan Bola ? Penyelesaian :       (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²         (x – (-2))² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4         (x + 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4        (  X 2  +  4x + 4) +  (y² – 6y + 9) +  (z² – 2z + 1)  = 4        X 2  +  4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  = 4        X 2  +  4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  -  4 = 0        X 2   +  y² +  z²  +  4x – 6y  – 2z + 4+ 9+ 1  -  4 = 0         X 2   +  y² +  z²  +  4x – 6y  – 2z + 10 = 0 Jadi, persamaan bola yang berpusat pada titik M(-2,3,1) adalah dan jari-jari 2 adalah         X 2   +  y² +  z²  +  4x – 6y  – 2z + 10 = 0 2.        Tentukan Titik Pusat dan jari-jari bola yang persamaannya adalah X 2   +  y² +  z²  +  8x – 10y  – 6z + 10 = 0 Jawab : Dik : X 2   +  y² +  z²  +  8x – 10y  – 6z + 10 = 0 Penyelesaia

Definisi Bola Permukaan Bola merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant. Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola. Persamaan Bola Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah;               S= x² + y² + z² = r 2  ....(I) Persamaan Bola untuk Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut) Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku: MP = OP – OM = (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c) = (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c) Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana: │MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²} Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka: R   = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²} R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)² Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola. J